Просмотр полной версии : N-арные матрицы
phys2010
10.01.2011, 18:35
Любой более-менее приличный студент технического вуза умеет обращаться с матрицами. Поймал сейчас себя на мысли, что не встречал в литературе попыток опеределения действий над многомерными матрицами, элементы которых имеют вид a_{ij...k}. Точнее, где-то что-то видел, но не отложилось. Может быть кто-то сможет развить эту тему?
Martusya
10.01.2011, 18:58
Многомерные матрицы и действия над ними вполне себе описаны в литературе. Вы какую-то конкретную задачу хотите решить?
phys2010
10.01.2011, 19:28
Martusya, откровенно говоря какой-либо конкретной задачи нет. Просто интересно. Например, как такие матрицы действуют на векторном пространстве? И если такое действие можно определить, то являются ли они (линейными) операторами?
Кстати, ссылочку не скинете?:)
Гантмахер не годится? Данилевский?
да такого до фига в Обработке сигналов. У меня в кандидатской диссертации был метод расчета взаимного спектра, где элементы матрицы - матрицы и вектора. Спектральный анализ.
Можете найти книгу Марпла мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения.
Carro
Марпла мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения
Мне больше Бокс и Дженкинс нравятся.
Кстати, согласен с автором. В приложениях многомерных матриц много и в инженерных книгах им уделяется внимание. Особенно программисты любят вложенные матрицы :) А вот в математических работах, в книгах по линейной алгебре и функциональному анализу они как то обделены. Но причины, наверное, понятны. Математикам больше идеи интересны, а их лучше раскрывать на простых примерах. Вроде бы, увеличение размерности не несет ничего принципиально нового - только расчеты технически усложняются. Но вместе с тем, может быть, какие то интересные теоретические моменты при увеличении размерности могут возникать.
phys2010
11.01.2011, 09:17
Carro, спасибо. Я посмотрел эту книгу. Действительно, если записать двумерное уравнение Юла-Уолкера в матричном виде, то линейный оператор представляется в виде прямоугольной блочной матрицы. Но это не тот случай, поскольку блочную матрицу можно всегда переписать в виде плоской прямоугольной матрицы большего размера, элементами которой являются вещественные (или комплексные) числа. А я имею в виду ситуацию, когда такое представление невозможно в принципе, или (ослабленный вариант) возможно как частный случай. Иными словами, существует ли многомерный аналог обычной (плоской) матричной алгебры не сводящейся к ней?
Carro, спасибо. Я посмотрел эту книгу. Действительно, если записать двумерное уравнение Юла-Уолкера в матричном виде, то линейный оператор представляется в виде прямоугольной блочной матрицы. Но это не тот случай, поскольку блочную матрицу можно всегда переписать в виде плоской прямоугольной матрицы большего размера, элементами которой являются вещественные (или комплексные) числа. А я имею в виду ситуацию, когда такое представление невозможно в принципе, или (ослабленный вариант) возможно как частный случай. Иными словами, существует ли многомерный аналог обычной (плоской) матричной алгебры не сводящейся к ней?
ну если только размерности матриц-элементов разные в рамках одной строк или столбца ...
Ту же Юла-Уолкера, если представить с разной размерностью p, можно свести именно к такому виду ... только не нужно вроде как.... хотя кто знает, может быть таким образом можно получить весьма смешанную модель, которая имеет с одной стороны преимущества гладких моделей (с малым р), с друнгой стороны точность высокочастнотных моделей (с большим p).
Добавлено через 3 минуты
Carro
Мне больше Бокс и Дженкинс нравятся.
Кстати, согласен с автором. В приложениях многомерных матриц много и в инженерных книгах им уделяется внимание. Особенно программисты любят вложенные матрицы :) А вот в математических работах, в книгах по линейной алгебре и функциональному анализу они как то обделены. Но причины, наверное, понятны. Математикам больше идеи интересны, а их лучше раскрывать на простых примерах. Вроде бы, увеличение размерности не несет ничего принципиально нового - только расчеты технически усложняются. Но вместе с тем, может быть, какие то интересные теоретические моменты при увеличении размерности могут возникать.
Бокс и Дженкинс - все таки не спектральный анализ, а анализ временных рядов. Вообще, нельзя говорить, что лучше или хуже. Эти книги друг друга дополняют.
phys2010
11.01.2011, 09:51
ну если только размерности матриц-элементов разные в рамках одной строк или столбца ...
К сожалению в этом случае возникает проблема с определением операций над такими объектами. Т.е. мы получаем множество, но не алгебру.
Olafson, нет - это стандартные курсы.
chtec_77630
11.01.2011, 10:08
тензоры?
phys2010
11.01.2011, 10:12
chtec_77630, я тоже об этом думал. Но как определить умножение тензоров?
Carro,
Бокс и Дженкинс - все таки не спектральный анализ, а анализ временных рядов
Прошу прощения, перепутал, Дженкинс, Ваттс имел в виду...
phys2010
11.01.2011, 12:41
gav, Дженкинса и Ваттса посмотрел. Хорошее (простое и одновременно математически строгое) изложении многомерного спектрального анализа. Однако, как и у Марпла, здесь также используется стандартный аппарат матричной алгебры.
ну сами прикиньте. Могут быть толь ко два варианта. Или элементы одноразмерные или нет. Все. В одноразмерных элемернтах вам не подходят. Но разноразмерные почему-то не нравятся .. а других ведь вариантов нет.
phys2010
11.01.2011, 15:54
Carro, как ни странно, но есть! Ограничимся элементами одной размерности (без ограничения общности можно рассматривать даже элементы размерности 0 - числа). Но расположим их не на плоскости, а в узлах кубической решетки размера n^3. Получим 3-арную (тернарную) матрицу. Аналогично строим N-арную матрицу. Сложение таких матриц можно определить как в плоском случае - поэлементно. Проблема в том - как определить умножение. Здесь должен работать принцип соответствия, а именно: в случае N=2 имеем умножение матриц.
Теперь к вопросу о том, для чего все это нужно. Имея корректно определенное умножение на множестве таких объектов, легко определить их действие на вектором пространстве. Это позволит интерпретировать N-арные матрицы (при N>2) как нелинейные операторы (условие линейности возвращает нас обратно к обычным матрицам). А от этого один шаг к использованию этого аппарата в приложениях, например, в нелинейном спектральном анализе.
не подождите. Матрица - это строки и столбы. и все. элемент может быть матрицей. и все. т.е. строки и столбцы. в которое в свою очередь может быть матрица - строки и столбы.
А вы вдруг вводите не матрицу, а куб. И неважно, вложенный он куда-то или нет. Прежде , чем его вкладывать , надо с ним определить операции сложения , умножения, обратимости и транспориррования.
Т.е. вам не сложные матрицы нужны, а нечто совсем другое.
phys2010
11.01.2011, 16:09
Carro, именно так! И неважно, вложенный он куда-то или нет.
начните с определения единичного N-мерного нечто - "куба" и попытайтесь определить на простом варианте (2х2х2) операцию умножения взщаимно обратных матриц. (ну я бы пошлат таким путем :)) но я женщина и иду обычно индукцией.
phys2010
11.01.2011, 16:19
Carro, что-подобное я и пытаюсь делать. Правда пока без особых успехов. Рад, что Вы быстро уловили суть проблемы. :)
кстати, я вот никогда не видела авторегрессионых методов в обработке изображений. А возможно там как раз и выплывут такие матрицы..еще мне вспоминается преобразование Родона (кажется используется в томографии ..3-х мерный сигнал ) возможно там тоже возникнет что-то подобное
phys2010
11.01.2011, 16:25
Спасибо, обязательно посмотрю.
Ага ... записал.
chtec_77630
15.01.2011, 06:44
Насколько я понял, речь идет о тензорах (грубо говоря, объекты задаваемые 3^N числами в выбранной декартовой прямоугольной системе координат, и запись чисел представима "таблицей" в виде квадрата (2 ранг), куба (3 ранг), гиперкуба (4 ранг), (гипер-)куба или что полагается по рангу. Тут в частном случае, 3 -- это размерность пространства). С тензорами одинакового ранга просто осуществляются операции сложения и вычитания, происходит сложение или вычитание компонент. Для двух тензоров третьего ранга
C = A + B
Cikl = Aikl + Bikl
Внешнее (прямое) умножение порождает тензор, ранг которого равен сумме рангов.
C = A ⊗ B
Ciklmn = Aikl Bmn
Результатом внутреннего (скалярного) произведения является тензор с рангом меньшим суммы рангов сомножителей. Часть индексов приравнивается, и по ним проводится сложение.
Cikn = \sum_{m=1}^{3} Aikm Bmn
Выбор несвободного индекса влечет многовариантность.
Dikm = \sum_{n=1}^{3} Dikn Bmn
Обратный тензор таков, что произведение с ним дает символы Кронекера \delta_ik (=0, если i≠k, =1, если i=k):
\sum_{n=1}^{3} Hik Gkl = \delta il
Связь с "обычными" действиями. Матричное перемножение двух матриц (то есть тензоров 2 ранга) есть их внутреннее (скалярное) произведение, причем одна пара индексов сворачивается:
Pil = \sum_{m=1}^{3} Dik Bkl
Скалярное произведение вектров аналогично. Векторное произведение векторов представляется как внешнее (прямое) умножение, но свернутое с единичным псевдотензором Леви-Чивита.
phys2010
15.01.2011, 10:58
chtec_77630 когда мы работаем с обыкновенными матрицами (тензорами ранга 2), закон умножения не выводит нас их этого множества (ранг произведения совпадает с рангом сомножителей). А вот как определить умножение на множестве произвольных тензоров одного ранга, неизвестно.
chtec_77630
15.01.2011, 15:01
определить умножение на множестве произвольных тензоров одного ранга
Это скалярное произведение, в котором мы сворачиваем столько индексов, чтобы ранг произведения остался прежним, и чтобы мы не вышли из исходного множества.
C=A⊗B
Ciklmnpqr=AiklmBnpqr
Это прямое произведение дает (4+4)=8 ранг.
(AB)ikqr = \sum_{s,t=1}*{3} AikstBstqr
А здесь свернуты две пары индексов, и ранг (AB) равен рангу A и рангу В. Произведения матриц справа и слева -- это просто разный выбор сворачиваемой пары индексов, внутренней (Aik,Bkm) или внешней (Aik,Bmi) для суммирования.
Преемственность соблюдается, значит, нельзя не считать определение умножения на множестве произвольных тензоров одного ранга заданным :-)
phys2010
15.01.2011, 17:44
chtec_77630, все верно. И это единственный известный мне способ определения операции умножения на множестве тензоров одного ранга. Однако дело в том, что и здесь мы имеем обычное умножение (плоских) матриц. Действительно, рассмотрим Ваш пример:
(AB)mnps=AmnijBijps
Теперь введем мультииндексы
M=[mn], P=[ps], I=[ij]
и перепишем Ваш пример в виде
(AB)MP=AMIBIP.
Очевидно, что мы вновь получаем умножение обычных матриц.
Задача в том, чтобы определить умножение на множестве тензоров одного ранга не сводящееся к умножению обычных матриц (другими словами, алгебра, построенная на этом множестве должна быть не изоморфна алгебре обычных плоских матриц).
chtec_77630
15.01.2011, 18:57
Дело в том, что когда мы сворачиваем индексы, то уходит пара индексов, и ранг снижается на два. Если будем перемножать по общему правилу матрицы третьего ранга (кубики), то свернуть их прямое произведение до третьего ранга просто не выйдет.
Кажется, тогда в дело вступают вспомогательные символы Леви-Чивиты. Такие умножения тензоров нечетных рангов уже не похожи на действия с плоскими матрицами.
phys2010
15.01.2011, 19:25
chtec_77630, именно поэтому изначально я говорил не о тензорах, а о N-матрицах. Думаю, что зацикливаться на тензорном умножении не стоит. Это лишь один из способов определения операции умножения N-матриц. Хотя и на тензорах одного ранга можно, я думаю, корректно определить новый закон умножения. Но это должна быть не свертка в чистом виде, а что-то другое ;)
http://abitur.bsuir.by/m/12_116608_1_50823.pdf.
Но там умножение вводится таким же образом, о котором уже писали.
phys2010
17.01.2011, 22:48
Lelika, спасибо. Очевидно, что этот материал базируется на книге "Соколов Н.П. Введение в теорию многомерных матриц. Киев, 1972". Я слышал об этой книге, но читать не приводилось. Насколько я знаю, это единственная монография, посвященная многомерным матрицам. Из присланного Вами материала вижу, что конструкция Соколова может использоваться при работе с многомерными массивами данных. Однако насколько естественно эта конструкция обобщает обычную матричную алгебру... Не знаю... Закон умножения кажется очень неестественным. Но... буду думать.
vBulletin® v3.8.8, Copyright ©2000-2024, vBulletin Solutions, Inc. Перевод: zCarot