PDA

Просмотр полной версии : Поле, кольцо и линейное пространство


IvanSpbRu
28.10.2011, 15:59
Вопрос к людям, хорошо разбирающимся в математике.

Сейчас по личным причинам (только не смейтесь) решил углубить свои познания в этой науке в тех отраслях, которые критичны для меняю Для ознакомления взял книгу "Линейная алгебра и функции многих переменных" Булдырева и Павлова (она есть тут http://bookfi.org/book/567098).

Естественно, в силу недостаточной подготовки уже в самом начале возникли проблемы. Тупо не понял следующий момент - в книге на странице 17 в самом верху задается поле. Но в это поле включаются единичный и нулевой элементы. Однако на предыдущей странице говорится, что нулевой элемент в поле не входит. И вот тут мне чудятся взаимоисключающие параграфы...

Посоветуйте, пожалуйста...

mbk
28.10.2011, 16:21
Мне кажется, что там все правильно.
Написано примерно так: если из поля выкинуть нуль (нейтральный элемент по первой операции - сложению), то получится группа по умножению.

gav
28.10.2011, 16:21
IvanSpbRu
Достойное заниятие! :)

Однако на предыдущей странице говорится, что нулевой элемент в поле не входит.
не нашел, где там на 16 странице об этом говорится...

IvanSpbRu
28.10.2011, 16:46
Мне кажется, что там все правильно.
Написано примерно так: если из поля выкинуть нуль (нейтральный элемент по первой операции - сложению), то получится группа по умножению.

Отлично, теперь все понял, именно в это я не вписался. Поле - это не кольцо с изъятым нулевым элементом (как я подумал сначала), а кольцо, которое, если исключить из него нулевой элемент, образует группу по умножению. Спасибо

Добавлено через 40 секунд

не нашел, где там на 16 странице об этом говорится...

Я просто неправильно истолковал пункт 24 на странице 16

Team_Leader
28.10.2011, 16:56
IvanSpbRu, Вы решили защитить докторскую на д.ф.-м.н. по 08.00.13? Тогда - нечего смеяться.
Веселее, если вы решили жениться на выпускнице математико-механического факультета СПБГУ (впрочем, можно не объяснять - в остальных местах порядок слов в названии - обртный)...
Ну-ну... успехов:) В приницпе мой опыт женитьбы на выпускнице естественно-научного факультета МГУ - успешный, так что учите :D - будет больше взаимопонимания в семейной жизни

mbk
28.10.2011, 17:01
Книжка, кстати, интересная.
Необычно написана.

phys2010
28.10.2011, 17:08
Тупо не понял следующий момент...
Предложение 24 на стр. 16 сформулировано коряво (что характеризует стиль изложения авторов), но по факту mbk прав, ошибки там нет... Однако, я бы не рекомендовал эту книгу для первого чтения, тем более для физиков-теоретиков, как претендуют на то авторы.

mbk
28.10.2011, 17:28
Кстати, Булдырев вроде бы физик, только занимается волновыми процессами.
Бывает такое. Книжка из одной области науки, при этом автор - глубочайший профессионал, но в другой области науки.
Получается забавная вещь. Эдакий пирожок с начинкой.
Например, "Функциональный анализ" алгебраиста У. Рудина. Шикарные связи между метрическими и алгебраическими объектами. Абсолютно филигранное изложение! При чтении получаешь наслаждение, по силе сравнимое с сексуальным.:)
Другой пример: "Функциональный анализ" экономиста Л. В. Канторовича. Открываешь этот кирпич - и тоска наполняет душу. Перестаешь понимать даже то, что понимал до сих пор. Понятно, что они с Акиловым затачивали эту книжку под решение операторных уравнений. Но не до такой же степени.

phys2010
28.10.2011, 18:16
Бывает такое. Книжка из одной области науки, при этом автор - глубочайший профессионал, но в другой области науки.
Получается забавная вещь. Эдакий пирожок с начинкой.
Согласен... Тем более не стоит экспериментировать в таких устоявшихся областях, как линейная алгебра и анализ. Есть ведь великолепные классические курсы, закладывающие базу.Таковыми, на мой взгляд, являются книги Куроша (высшая алгебра), Мальцева (линейная алгебра), Кострикина и Манина (линейная алгебра и геометрия - это для физиков), Понтрягина (непрерывные группы), Фихтенгольца (анализ), Эльсгольца (дифференциальные уравнения и вариационное исчисление)... Это то, что вспомнилось сразу. Причем, эти книги можно читать практически с нуля, обладая минимальной математической подготовкой...

kravets
28.10.2011, 18:18
Например, "Функциональный анализ" алгебраиста У. Рудина.

Мда. Помню-помню. Его "легко показать, что" у нас иногда выливалось в пару-тройку практик...

mbk
28.10.2011, 18:18
книги Куроша (высшая алгебра)
... и "Общая алгебра":)

kravets
28.10.2011, 18:19
В приницпе мой опыт женитьбы на выпускнице естественно-научного факультета МГУ - успешный, так что учите :D - будет больше взаимопонимания в семейной жизни

- ах ты поле недоделанное!!!!
- Да! Я - группа!

Team_Leader
28.10.2011, 18:40
- ах ты поле недоделанное!!!!
- Да! Я - группа!
"дорогая, я поразмыслил и выявил сходимость нашего с тобой двухэлементного ряда"

Добавлено через 5 минут
"давайте займемся производной от нашей векторной функции в трехмерном пространстве" :love: + :sleep: = :baby:

phys2010
28.10.2011, 18:44
... и "Общая алгебра"
Ее я намеренно пропустил :) Мне более симпатична "Алгебра" ван дер Вардена... Книги одинаково простые и добротно написанные, но последняя более информативна. Тем более, что изложение Куроша, основанное на понятии универсальной алгебры, весьма специфично...

gav
28.10.2011, 20:48
phys2010
Есть ведь великолепные классические курсы, закладывающие базу
Давно понял, что этот вопрос очень индивидуален. То что мне кажется суперпонятно изложенным другому человеку может показаться, наоборот, слишком мудрено. И наоборот. Сильно зависит от специализации. Например, мне тот же функциональный анализ удобно читать у Пугачева, а вариационное исчисление "толкать" от оптимального управления, так как это ближе к моей специальности и больше точек "соприкосновения".

Добавлено через 50 секунд
- Дорогая, ты у меня такая компактная!
- Какая-какая?
- Замкнутая и ограниченная!
:)

phys2010
28.10.2011, 20:52
Давно понял, что этот вопрос очень индивидуален.
Это верно, если определенная база уже заложена. Если же речь идет о первом знакомстве с предметом, то следует все же опираться на стандартные, проверенные временем, курсы...

gav
28.10.2011, 21:42
phys2010, такое одинаковое "первое знакомство", разве что, у школьника. Да и то от школы к школе база разная. А уж у Ивана определенно некоторая база есть :)

IvanSpbRu
28.10.2011, 23:40
Это верно, если определенная база уже заложена. Если же речь идет о первом знакомстве с предметом, то следует все же опираться на стандартные, проверенные временем, курсы...

Понимаете, проблема в чем - я не знаю, какие курсы являются стандартными и проверенными временем, увы. Математике меня учили как экономиста, то есть знания с одной стороны, сугубо прикладные, с другой - неглубокие, с третьей - весьма специфическим образом отобранные.

Что касается стиля и что проще читать...Вот, например, по анализу. Фихтенгольц, при всем уважении - слишком здоровый:D Кудрявцев не пошел. То есть вот устраивающей меня книги по анализу пока не подобрал...

Мне проще читать и усваивать книги более прикладного характера, без долгих теорем существования. То есть в теории вероятностей - Вельцель и Гмурман, например. Очень нравятся курсы Мышкиса и Мышкиса-Зельдовича. Отчасти за Булдырева ухватился поэтому же - что не для чистых математиков.

Вот Гельфанд, например, по линейной алгебре, тоже как-то не пошел...Зато малоизвестную книгу Клиот-Дашинского прочел чуть ли не на одном дыхании...

А вообще, коллеги, если помогли бы сформировать перечень хороших книг по математике по основным ее разделам - был бы очень благодарен. Проблема в том, что в этой литературе я практически не ориентируюсь

phys2010
29.10.2011, 00:55
Мне проще читать и усваивать книги более прикладного характера, без долгих теорем существования.
Тогда попробуйте последовать совету Ландау и вместо учебника поработать со сборником задач. По анализу, например, могу посоветовать книгу Ефимова и Демидовича (части 1 и 2 ). Там хорошая подборка задач и краткое теоретическое введение в начале каждого подпункта. Скачать обе части этой книги можно здесь (http://bib.tiera.ru/).

gav
29.10.2011, 11:33
phys2010
Тогда попробуйте последовать совету Ландау и вместо учебника поработать со сборником задач.
Очень правильный совет!

Ink
29.10.2011, 15:47
Кстати, а почему "линейное" пространство? Имеется ввиду некая условность (модель), а не реальный мир?

Добавлено через 3 часа 44 минуты
З.ы. и, если можно, то чем линейное пространство отлично от векторного пространства?

phys2010
29.10.2011, 17:01
Модель, но иногда очень близкая к реальности. Так, четырехмерное вещественное линейное пространство Минковского можно считать реальным физическим пространством, если абстрагироваться от матери его заполняющей. Пространством состояний квантовой системы является комплексное унитарное линейное пространство. Можно привести и другие примеры... Но, разумеется, такое совпадение модели и реальности скорее исключение, чем правило.

Добавлено через 1 минуту
чем линейное пространство отлично от векторного пространства?
Ничем. Эти термины относятся к одному объекту.

Paul Kellerman
01.11.2011, 13:23
Поле - это не кольцо с изъятым нулевым элементом (как я подумал сначала),
а кольцо, которое, если исключить из него нулевой элемент, образует группу по умножению
Поле от кольца, как минимум, отличается тем, что в поле для каждого ненулевого
элемента существует обратный элемент по умножению (т.е. элемент, при умноже-
нии на который исходного элемента, получается единичный элемент). В кольце не
для любого элемента, и то при условии, что мы рассматриваем кольцо с единицей.
При исключении из поля нулевого элемента остается коммутативная мультиплика-
тивная группа, а при исключении нулевого элемента из кольца с единицей - оста-
ется мультипликативный моноид, если кольцо без единицы - остается полугруппа.

Пример поля - конечное множество целых чисел {0,1,...,p-1}, где p простое число,
c двумя бинарными операциями сложения и умножения, выполняемых по модулю p,
то есть как (a + b) mod p и (a * b) mod p в привычной арифметике поля действите-
льных чисел. В таком поле для каждого ненулевого элемента а найдется мультипли-
кативно обратный элемент b, такой что (a * b) mod p = 1. А если же p - составное,
то мы имеем дело с коммутативным кольцом с единицей, в нем уже не для всякого
ненулевого элемента а существует мультипликативного обратный элемент. Сущес-
твует только для таких а, что наибольший общий делитель для чисел а и p равен 1.

Полищук Андрей
14.11.2011, 19:58
Тогда попробуйте последовать совету Ландау и вместо учебника поработать со сборником задач. По анализу, например, могу посоветовать книгу Ефимова и Демидовича (части 1 и 2 ). Там хорошая подборка задач и краткое теоретическое введение в начале каждого подпункта. Скачать обе части этой книги можно здесь (http://bib.tiera.ru/).

Ещё вариант -- преподавать. Совместите приятное с полезным, математику изучите, ещё и денег дадут. Кроме шуток, этот путь экстремален, но эффективен.