Можно, если человек учил только один иностранный язык, и этот язык относится к группе германских языков. Соответсвенно, он является специальностью, и его в качестве кандидатского сдавать не разрешают. Вот так вот... А то, что соискатель другого никакого иностранного языка никогда не учил и не знает - это его проблемы, соискателя.

А возможна ли сдача кандидатского экзамена досрочно?
Даже в ту же осеннюю сессию, но в самом ее начале, т.к. еще нужно ехать в другой город и сдавать канд экзамен по специальности.

Кандидатские экзамены сдаются во время сессий (2 раза в год). Допускается сдача экзамена вне сессии в случае представления диссертации в совет.
Разве что вы сможете договориться сдать раньше, а протокол чтоб оформили передним числом.

У меня тоже 10.02.04. но немецкий язык.
Обычно на сайтах отделов аспирантур есть требования к экзамену.
Курсы - даже интенсивные не очень помогут - там больше на разговорный язык ориентируются. Если Вы в Москве - можно походить на Кафедру ин-яза Института языкознания - там можно с нуля - и именно с ориентацией на будущий экзамен.