PavelAR
Школьная и институтская математика здесь совершенно непричем! Эти "грабли" - исключительно продукт нашего мозга, склонного отождествлять неотождествимое и строить аналогию в неаналогичном. Ни в институте, ни, тем более, в школе, Вам никто не обещал, что производная в поле Галуа будет дакой же, как и в действительных числах. Наоборот, надо ставить вопрос об удивительном, что они так похожи!

Рассмотрим вновь выражение kL*X^k. Предположим, что мы пока не определили конкретный вид поля над которым работаем. В этом случае сомножитель kL=L+...+L, где символом k обозначено число слагаемых (некоторое натуральное число). С другой стороны, сомножитель X^k=X*...*X, где симколом k обозначено уже число сомножителей. Очевидно, что обоих случаях k - одно и тоже натуральное число. Теперь фиксируем поле. Если оно характеристики 0 (например, поле вещественных чисел), то оно содержит множество натуральных чисел и поэтому смысл символа k не меняется - его можно считать элементом поля. Если же мы имеем поле Галуа GF(2^n), то ситуация меняется. В этом случае для сомножителя kL мы должны использовать таблицу сложения (из которой следует тождество X+X=0), а для сомножителя X^k - таблицу умножения (из которой следует тождество X^q=X, где q=2^n). Причем L и X являются элементами поля, а вот символ k им не является. Этим символом обозначено лишь количество (натуральное число) слагаемых и сомножителей соответственно. И это количество в обоих сомножителях совпадает (кстати, при таком подходе школьная и институтская алгебра работают :)). Поэтому определять деление на этом множестве (множестве натуральных чисел) некорректно.
PS
Можно, конечно, символы k в сомножителях kL и X^k вложить в поле Галуа (и тогда деление выполняться будет, поскольку k^{q-1}=1). Но тогда элементы, соответствующие символу k, будут различаться и это приведет к ненужному усложнению текста.

Продолжаем тему... Следующий вопрос чуток другого плана...

Итак пусть задано простое конечное поле Галуа GF(p), где p - разумеется простое,
в котором сложение и умножение выполняется с помощью операций, соответсвую-
щих операциям сложения и умножения по модулю (p) с точки зрения привычной ал-
гебры поля действительных чисел. В поле GF(p) существует (и необязательно один)
примитивный элемент с помощью которого можно получить все ненулевые элементы
поля GF(p), путем возведения его в соответствующие степени 0, 1,..., p - 2. Сами
степени мы можем называть "логарифмами по основанию примитивного элемента" .

Так вот, пусть есть простое поле GF(p), пусть имеется множество {0, 1, ... , p - 2}
логарифмов по основанию примитивного элемента поля для всех ненулевых элемен-
тов поля GF(p). Зададим для множества логарифмов операции сложения и умноже-
ния, соответствующие операциям сложения и умножения по модулю (p - 1) с точки
зрения алгебры поля действительных чисел. А тогда, можно ли считать множество
логарифмов с двумя заданными операциями "коммутативным кольцом с единицей"?

Да. В кольце целых чисел классы вычетов по произвольному положительному числу x состоят из тех чисел, которые при делении на x дают остаток y. Чтобы сложить или перемножить два класса вычетов нужно сложить или соответственно перемножить их представители и привести результат к его наименьшему неотрицательному остатку от деления на x. В вашем случае x=p-1 и поэтому x - четное число отличное от 2. Следовательно указанное множество логарифмов является коммутативным кольцом с единицей, в котором есть делители нуля (если p-1 не есть степень двойки).

Спасибо большое! То есть для любого простого поля Галуа GF(p), p >= 3, можно пос-
троить соответствующее ему кольцо логарифмов LR(p - 1), LR - сокр. Logarithm Ring.
Причем, в случае: p = 3, мы получаем LR(2), которое также является и полем GF(2).

Теперь я могу спать спокойно :)

Вопрос второй, чтобы уж совсем успокоиться :)

А могу ли я утверждать, что циклическая мультипликативная группа, состоящая
из множества всех ненулевых элементов поля GF(p) и определенной в ней опера-
ции умножения (по модулю p), изоморфна циклической аддитивной группе, сос-
тоящей из множества соответствующих логарифмов и определенной в ней опера-
ции сложения (по модулю p - 1). То есть, для любых ненулевых a, b и с из GF(p),
таких что: с = a * b (по правилам умножения поля GF(p)), имеются соответству-
ющие u, v и w из LR(p - 1): w = u + v (по правилам сложения в кольце LR(p - 1)),
ну и соответственно, соответствие в обратном направлении также справедливо?

Любые две циклические группы одного порядка изоморфны (вне зависимости от явного вида операций, заданных на них). Изоморфизм определяется отображением (любого) порождающего элемента одной группы в (любой) порождающий элемент другой группы.

Спасибо большое, теперь все ясно.

Как и обещал, выкладываю свой взгляд на вывод формулы для формальной
производной полинома, заданного над конечным полем GF(2^m), ну и также
адаптация схемы Горнера для вычисления значения формальной производной
полинома при заданном аргументе x, ну и аппаратная реализация вычисления.