1. Если все платят налоги честно, то средний доход, с которого будет за-плачен налог, составит 500 тыс. руб., средний налог будет равен 100 тыс. руб. а суммарный налог от 100 млн налогоплательщиков достиг-нет 10 трлн руб.
2. Если налогоплательщики ведут себя стратегически, то зарабатывающим много (больше некоторой критической суммы) выгоднее с вероятностью 50 % заплатить штраф 250 тыс. руб. (в среднем 125 тыс. руб.), чем пла-тить налог 0,2x. Критическая сумма находится из неравенства

0,2x ≥ 125, x ≥ 625.
Доля налогоплательщиков, зарабатывающих меньшие суммы и честно платящих налоги, равна 62,5 % (или 62,5 млн чел.. Средний доход таких людей составит 625/2 = 312,5 тыс.руб., налог 0,2⋅312,5 = 62,5 тыс.руб., суммарные налоговые сборы 62,5⋅62,5 = 3 трлн 906,25 млрд руб. Оставшиеся 37,5 млн чел. уклоняются от уплаты налогов, платят в сред-нем штраф 125 тыс.руб. и дают в бюджет 4 трлн 687,5 млрд руб. Затра-ты на проведение проверок 50 млн чел. обходится бюджету в 50⋅12,5 = 625 млрд руб. Итоговые доходы государственного бюджета составят 3906,25 + 4687,5 – 625 = 7 968,75 млрд руб.
3. Если вероятность проверки составляет p, условие готовности платить в зависимости от зарплаты x принимает вид 0,2x ≥ 250p, x ≥ 1250p (заметим, что при вероятности проверки более 80 % все платят налоги честно). Средняя зарплата таких людей (число которых равно 125p) составит 625p., а налоги 125p. Соответственно, налоговые сборы окажутся равными

T = (125p)2 = 15 625p2 млрд руб.
Штрафы будут платить (100–125p) млн чел. в среднем по 250p тыс. руб. Общая сумма штрафов составит

F = (100–125p)⋅250p = 25 000p – 31 250p2 млрд руб.
Наконец, затраты на проверку составляют

S = 100p ⋅12,5 = 1 250p.
Максимизируем доходы бюджета:

15 625p2 + 25 000p – 31 250p2 – 1 250p → max,
Приравняв производную к нулю, найдем оптимальную вероятность налоговой проверки:

–31 250p+23 750=0, p* = 0,76,
Найдем налоговые сборы, штрафы и расходы на проведение проверок:
T=15 625⋅0,762 = 9 025,
F=25 000⋅0,76 – 31 250⋅0,762 = 950, S=12 50⋅0,76 = 950.
Таким образом, при вероятности проверки 76 % бюджет получит 9025 + 950 – 950 = 9 трлн 025 млрд руб. дохода.