N-арные матрицы
 

Любой более-менее приличный студент технического вуза умеет обращаться с матрицами. Поймал сейчас себя на мысли, что не встречал в литературе попыток опеределения действий над многомерными матрицами, элементы которых имеют вид a_{ij...k}. Точнее, где-то что-то видел, но не отложилось. Может быть кто-то сможет развить эту тему?

Многомерные матрицы и действия над ними вполне себе описаны в литературе. Вы какую-то конкретную задачу хотите решить?

Martusya, откровенно говоря какой-либо конкретной задачи нет. Просто интересно. Например, как такие матрицы действуют на векторном пространстве? И если такое действие можно определить, то являются ли они (линейными) операторами?
Кстати, ссылочку не скинете?:)

Гантмахер не годится? Данилевский?

да такого до фига в Обработке сигналов. У меня в кандидатской диссертации был метод расчета взаимного спектра, где элементы матрицы - матрицы и вектора. Спектральный анализ.
Можете найти книгу Марпла мл. Цифровой спектральный анализ и его приложения.

Carro
Мне больше Бокс и Дженкинс нравятся.
Кстати, согласен с автором. В приложениях многомерных матриц много и в инженерных книгах им уделяется внимание. Особенно программисты любят вложенные матрицы :) А вот в математических работах, в книгах по линейной алгебре и функциональному анализу они как то обделены. Но причины, наверное, понятны. Математикам больше идеи интересны, а их лучше раскрывать на простых примерах. Вроде бы, увеличение размерности не несет ничего принципиально нового - только расчеты технически усложняются. Но вместе с тем, может быть, какие то интересные теоретические моменты при увеличении размерности могут возникать.

Carro, спасибо. Я посмотрел эту книгу. Действительно, если записать двумерное уравнение Юла-Уолкера в матричном виде, то линейный оператор представляется в виде прямоугольной блочной матрицы. Но это не тот случай, поскольку блочную матрицу можно всегда переписать в виде плоской прямоугольной матрицы большего размера, элементами которой являются вещественные (или комплексные) числа. А я имею в виду ситуацию, когда такое представление невозможно в принципе, или (ослабленный вариант) возможно как частный случай. Иными словами, существует ли многомерный аналог обычной (плоской) матричной алгебры не сводящейся к ней?

ну если только размерности матриц-элементов разные в рамках одной строк или столбца ...
Ту же Юла-Уолкера, если представить с разной размерностью p, можно свести именно к такому виду ... только не нужно вроде как.... хотя кто знает, может быть таким образом можно получить весьма смешанную модель, которая имеет с одной стороны преимущества гладких моделей (с малым р), с друнгой стороны точность высокочастнотных моделей (с большим p).

Добавлено через 3 минуты
Бокс и Дженкинс - все таки не спектральный анализ, а анализ временных рядов. Вообще, нельзя говорить, что лучше или хуже. Эти книги друг друга дополняют.

К сожалению в этом случае возникает проблема с определением операций над такими объектами. Т.е. мы получаем множество, но не алгебру.

Olafson, нет - это стандартные курсы.

тензоры?

chtec_77630, я тоже об этом думал. Но как определить умножение тензоров?

Carro,
Прошу прощения, перепутал, Дженкинс, Ваттс имел в виду...

gav, Дженкинса и Ваттса посмотрел. Хорошее (простое и одновременно математически строгое) изложении многомерного спектрального анализа. Однако, как и у Марпла, здесь также используется стандартный аппарат матричной алгебры.

ну сами прикиньте. Могут быть толь ко два варианта. Или элементы одноразмерные или нет. Все. В одноразмерных элемернтах вам не подходят. Но разноразмерные почему-то не нравятся .. а других ведь вариантов нет.

Carro, как ни странно, но есть! Ограничимся элементами одной размерности (без ограничения общности можно рассматривать даже элементы размерности 0 - числа). Но расположим их не на плоскости, а в узлах кубической решетки размера n^3. Получим 3-арную (тернарную) матрицу. Аналогично строим N-арную матрицу. Сложение таких матриц можно определить как в плоском случае - поэлементно. Проблема в том - как определить умножение. Здесь должен работать принцип соответствия, а именно: в случае N=2 имеем умножение матриц.

Теперь к вопросу о том, для чего все это нужно. Имея корректно определенное умножение на множестве таких объектов, легко определить их действие на вектором пространстве. Это позволит интерпретировать N-арные матрицы (при N>2) как нелинейные операторы (условие линейности возвращает нас обратно к обычным матрицам). А от этого один шаг к использованию этого аппарата в приложениях, например, в нелинейном спектральном анализе.