Уравнение радиоактивного распада
 

Коллеги, вот вопрос (понимаю, что позор но сам не могу разобратсья) - примитивное уравнение радиоактивного распада dm/m = - k dt. В пособии, которое я сейчас смотрю, говорится, что после интегрирования мы получаем ln m = - kt + ln c, где c - константа. Внимание - вопрос: почему константа берется под логарифмом??? Таблица интегралов от элементарных функций говорит, что константу нужно просто прибавлять...

Сначала решают дифф.уравнение. Решение m=exp(-kt)*c. Потом берут логарифм от обоих частей. Я так думаю.

По теореме Ньютона-Лейбница: F(b) - F(a) = int(dF(x)/dx, x = a..b).
Поэтому int(1/x, x = m(0)..m(t)) = ln(m(t)) - ln(m(0)), правая часть
int(-k, x = 0..t) = -k*t. В качестве константы обозначили c = m(0).
Интегрировать необходимо осмысленно, с пониманием физики.

Константа берется под логарифмом, потому что она по смыслу положительная (m, видимо, масса), а после потенцирования входит в выражение в более удобном виде, обозначая начальную m (в более удобном для решения задачи Коши). В общем, как указал Kellerman.

Замечательно, так я примерно и думал. То есть в случае необходимости мы можем брать константу под синусом, представлять ее в виде суммы двух констант и так далее?

Нет. Необходимо, чтобы области определения (исходных и преобразованных) констант совпадали. Так, если решается формальное дифференциальное уравнение, то константы произвольны и поэтому любые ограничения на их значения (типа c->ln c или c->sin c) недопустимы. Если же кроме диф. уравнения есть дополнительные (начальные, граничные и пр.) условия, то часть констант уже не будут произвольными. Однако "руками" накладывать на них ограничения нельзя, они должны получаться из решения исходной задачи. В частности, замена c->ln c в решении уравнения радиоактивного распада допустима, если изначально наложено дополнительное условие m(t)>0.

Под синусом можем, но нужно позаботиться об области значений. Синус (эллиптический) зачастую бывает отрицательным, и избавляясь от него мы можем получить перемену знака (в этом плане логарифм лучше -- он меняет знак однажды и известно где -- в единице по аргументу).

А зачем брать под синусом?
Вообще как уже писал Paul Kellerman С - это m при t = 0. В химических учебниках чаще встречается выражение m = m⁰*exp(-kt). m⁰ - начальная концентрация.