Где-нибудь существует черный список журналов ВАК?
 

Речь не о некоем списке, который был у ВШЭ.

Есть журнал, который ну очень посредственно относится к авторам и не предоставляет доказательств плагиата, заявляя, что он присутствует. На основании последнего факта постараюсь разорвать с ними договор; однако натерпелся от их сотрудников много.

Куда можно заявить о нем, чтобы сделать антирекламу или назначить проверку его ВАК с целью исключения из списка ВАК за ложные обвинения?

В перечне причин, по которым ВАК может исключить журнал из перечня, нет ничего похожего на "ложные обвинения". Более того, не очень понятно, почему это в принципе должно быть причиной? Ну вот у них такое частное мнение, имеют право считать, что в работе содержится плагиат. Можете посудиться с ними, если считаете, что это клевета или вроде того.

Посудиться не выйдет, то, что высказано в приватной переписке, клеветой не является.
Журнал, который заключает договор на бесплатное опубликование, вообще-то достоин уважения.
Если Ваш уровень достаточно высок, что Вы получили приглашение от РИНЦ на оценку журналов - ну, поставьте им одну звездочку. Всё.

У меня один знакомый был приглашен для рецензирования статьи в журнале из списка ВАК. Написал разгромную рецензию. Статью, естественно, отклонили. Появилась в другом журнале и тоже из списка ВАК. Туда моего знакомого в качестве рецензента не приглашали. Все это с ЧС ВАК-журналов ерунда. Журналов много.