[Philosof]

Отсрочка от армии по обучению в аспирантуре не имеет взаимосвязи с отсрочкой по работе в НИИ. Это разные виды отсрочек, так что отсрочка из НИИ, если она уже начнется, никак не аннулирует "учебную" аспирантскую отсрочку, которую Вы получите позднее. Сходить в военкомат и оформить отсрочку в НИИ Вы можете сразу, это не помешает Вам потом оформить аспирантскую. Только не после сдачи экзаменов, а когда выйдет приказ о зачислении.
Если на период до поступления в аспирантуру есть возможность пересидеть по отсрочке в НИИ, воспользуйтесь ей. Зачем искать поступление в частную шарашку, да еще за деньги, тем более с защитами там бывают сюрпризы.