Например, пусть
S(k , n) = \sum\limits_{i=0}^{k} \frac{(-1)^i\cdot C_k^i}{n-k+i}, \quad 0\leq k < n.
Предположим, что
S(k-1, m) = \frac{1}{(m-(k-1))\cdot C_m^k}, \quad 0\leq k-1 < m
Тогда
S(k, n) = S(k-1, n-1) - S(k-1, n) = \frac{1}{((n-1)-(k-1))\cdot C_{n-1}^{k-1}} - \frac{1}{(n- (k-1))\cdot C_n^{k-1}} = \frac{n}{(n-k) k C_n^k} - \frac{1}{k C_n^k} = \frac{1}{(n-k)\cdot C_n^k}, \quad 0\leq k < n.
Для k=1 получаем S(1, n) = \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} = \frac{1}{(n-1)\cdot n} = \frac{1}{(n-1)\cdot C_n^1}.
|