[Paul Kellerman]

По теореме Ньютона-Лейбница: F(b) - F(a) = int(dF(x)/dx, x = a..b).
Поэтому int(1/x, x = m(0)..m(t)) = ln(m(t)) - ln(m(0)), правая часть
int(-k, x = 0..t) = -k*t. В качестве константы обозначили c = m(0).
Интегрировать необходимо осмысленно, с пониманием физики.