[Paul Kellerman]

Damon

Идея в общем верная, только разбивка у меня была немного иная:

* * * * * * * * t * * * * * * *t - Pi/w * * * * * * * * * * * *t - (k-1)*Pi/w * * * * t - k*Pi/w
U * * * / * * */ * * * * * * * */ * * * * * * * * * * * * k-1 * * */ * * * * * * * * * * * k * * */ * * * *\
--- ** | * * *| * * * * - * * *| * *+ * ... * + *(-1) * * * * | * * * * * * *+ (-1) * ** *| * * * * *|
RC * * \ * * / * * * * * * * */ * * * * * * * * * * * * * * * * * */ * * * * * * * * * * * * * * * / * * * * /
* * * * * t - Pi/w * * t - 2*Pi/w * * * * * * * * * t - k*Pi/w * * * * * * * * * * * *0 *
* * * * *

где, k = [t / (Pi/w)] , то есть целая часть от деления t на Pi/w

Первые k интегралов однотипные, и отличаются с точностью до множи-
теля экспоненты. Отрезки интегрирования выбраны таким образом, что
внутри них синус имеет один знак: плюс для нечетных j, минус для чет-
ных j, где j - номер интеграла, j = 1 .. k - 1. Знак последнего интеграла
зависит от того окажется ли k четным или нечетным, и причем пределы
интегрирования в общем случае составляют отрезок длиной 0<=L<=Pi,
и получается, так сказать, &#34;неполный&#34; интеграл, содержащий косинус
(первые k интегралов дают геометрическую прогрессию из экспонент).

Интегрируя по частям два раза первый интеграл дает выражение:

*U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * * * * *Pi/(w*R*C)
------------------- * e * * * * * ** (1 + e * * * * * * * * * * )
1 +(w*R*C)^2

Второй интеграл дает:

*U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * Pi/(w*R*C) * * * 2*Pi/(w*R*C)
------------------- * e * * * * * ** (e * * * * * * * * * + e * * * * * * * * * * * )
1 +(w*R*C)^2

Далее легко увидеть аналогию, и так далее, (k - 1) - й дает:

*U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * (k-1)*Pi/(w*R*C) * * * k*Pi/(w*R*C)
------------------- * e * * * * * ** (e * * * * * * * * * + * * * * e * * * * * * * * * * * )
1 +(w*R*C)^2

Складывая всех их, получим: * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *k - 1
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * -----
*U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * ** * *\ * * j *Pi/(w*R*C) * * * * k*Pi/(w*R*C)
------------------- * e * * * ** (1 + 2* / * e * * * * * * * * * * *+ * * e * * * * * * * * * * *)
1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * * * *----- *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * j = 1 *

Теперь же найдем выражение для последнего интеграла:
Учтем, что cos(Pi*k) = (-1)^k и тогда после преобразований получим:

*U*w*R*C * * * * * * - t/RC + Pi*k/(w*R*C)
------------------- * e * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * -
1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * *

* * * * k * * *U*w*R*C * * * * * * * * * * * * * * 1
- (-1) * *------------------- ** (cos (wt) - ------ sin (wt))
* * * * * *1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * wRC *

Заметим, первое слагаемое совпадает с последним слагаемым выше-
приведенной суммы интегралов, и его можно перенести туда, и более
того сложив их внести их также как дополнительный k-й член ряда):
В итоге сумма первых k - 1 интегралов немного даже упрощается:

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *k
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** -----
*U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * * * **\ * * j *Pi/(w*R*C) *
------------------- * e * * * ** (1 + 2* / * e * * * * * * * * * * *)
1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * * * *----- *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * j = 1 *

Под знаком суммы имеем не что иное как геометрическую прогрессию.
Сумма вычисляется по формуле b1*(q^k - 1)/(q-1) и после упрощений:

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (Pi*k/wRC)
*U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * * * * e * * * * * * - * * * * 1
------------------- * e * * * ** (1 + 2 * ------------------------ )
1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - Pi/wRC
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 - * e

Что касается второго слагаемого (содержащего cos и sin) результата
последнего интегрирования, то можно провести классический прием:
Ввести подстановку tg(d) = 1/(w*R*C), тогда имеем:

cos(wt) - tg(d)*sin(wt) = (1/cos(d))*(cos(w*t)*cos(d) - sin(w*t)*sin(d)) =
(1/cos(d))*cos(wt + d), учитывая что *1 + tg^2 (d) = 1/ cos^2 (d), имеем:

* * * * * * * * 1 * * * * * * * * * * * * (1 +(w*R*C)^2)^(1/2)
cos(wt) - ----- *sin(wt) = ----------------------------- * cos (wt + arctg(1/wRC))
* * * * * * * wRC * * * * * * * * * * * * * * * * * *w*R*C

Подставляя его в исходное выражение второго слагамого имеем:
* * * * * * * * * * * * * * * U
((-1)^k)* ------------------------------ * cos (wt + arctg(1/wRC))
* * * * * * * *(1 +(w*R*C)^2)^(1/2)

Тогда окончательно имеем:
*
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (Pi*k/wRC)
* * * * * * * */ * * * w*R*C * * * * * * *- t/RC * * * * * * * * *e * * * * * * - * * * * 1
y(t) = U*&#0124; * ------------------- * e * * * ** (1 + 2 * ------------------------ ) *-
* * * * * * * *\ * *1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - Pi/wRC
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *1 *- * e

* * * * * * * * * cos (wt + arctg(1/wRC)) *\ * * * * * *
- ((-1)^k)* ------------------------------ **&#0124; * *, где *k = [t / (Pi/w)].
* * * * * * * * * (1 +(w*R*C)^2)^(1/2) * */

P.S. Так что все чуточку сложнее, чем просто интегрирование по частям