[Philosof]

должен ли я получить какие-нибудь документы, подтверждающие мою учебу в аспирантуре?

Нет. Должны выдать на руки бумажки о сдаче кандидатских экзаменов.

Это считается отчислением из аспирантуры или ее окончанием?

Отчислением в связи с окончанием срока обучения. Отчисляют из аспирантуры всех, либо в связи с защитой, либо в связи с окончанием срока. Окончание незащитившихся бывает успешное (сдан канд. минимум, представлена диссертация) и нет. Не знаю, где это все фиксируется. Возможно, в личном деле (наверняка) и трудовой книжке - если она лежала в отделе аспирантуры...

Смогу ли я выступать на коференциях или публиковаться в сборниках научных трудов своего вуза

Это зависит от отношения к Вам в этом ВУЗе. Почему собственно нет?

или других вузов

Тем более. И в журналах тоже - кому там нужно Ваше аспирантство?

отвечать можно по адресу

Никаких обсуждений по адресу. Только здесь. Это интересно и другим.