Насколько я понял, речь идет о тензорах (грубо говоря, объекты задаваемые 3^N числами в выбранной декартовой прямоугольной системе координат, и запись чисел представима "таблицей" в виде квадрата (2 ранг), куба (3 ранг), гиперкуба (4 ранг), (гипер-)куба или что полагается по рангу. Тут в частном случае, 3 -- это размерность пространства). С тензорами одинакового ранга просто осуществляются операции сложения и вычитания, происходит сложение или вычитание компонент. Для двух тензоров третьего ранга
C = A + B
Cikl = Aikl + Bikl
Внешнее (прямое) умножение порождает тензор, ранг которого равен сумме рангов.
C = A ⊗ B
Ciklmn = Aikl Bmn
Результатом внутреннего (скалярного) произведения является тензор с рангом меньшим суммы рангов сомножителей. Часть индексов приравнивается, и по ним проводится сложение.
Cikn = \sum_{m=1}^{3} Aikm Bmn
Выбор несвободного индекса влечет многовариантность.
Dikm = \sum_{n=1}^{3} Dikn Bmn
Обратный тензор таков, что произведение с ним дает символы Кронекера \delta_ik (=0, если i≠k, =1, если i=k):
\sum_{n=1}^{3} Hik Gkl = \delta il
Связь с "обычными" действиями. Матричное перемножение двух матриц (то есть тензоров 2 ранга) есть их внутреннее (скалярное) произведение, причем одна пара индексов сворачивается:
Pil = \sum_{m=1}^{3} Dik Bkl
Скалярное произведение вектров аналогично. Векторное произведение векторов представляется как внешнее (прямое) умножение, но свернутое с единичным псевдотензором Леви-Чивита.