Одними из популярных помехоустойчивых кодов, широко применяемых при
передаче и хранении информации являются коды Рида-Соломона. Однако,
для кодирования и декодирования информации используется специальная
полиномиальная алгебра, заданная над конечным полем Галуа GF(2^8). В
частности при декодировании блока информации (принятого из канала пе-
редачи информации или считанного с носителя информации) для отыска-
ния локаторов искажений с помощью, так называемого, синдрома ошибок
ищется полином локаторов искажений (по алгоритму Берлекэмпа-Месси),
потом он приравнивается нулю и находятся корни уравнения, из которых
легко выделяются сами локаторы искажений, ну а потом вычисляется так
называемый полином величин ошибок (с помощью полинома локаторов и
синдрома ошибок), и так называемая, формальная производная полинома
локатора ошибок. Далее с помощью полинома величин, формальной про-
изводной полинома локаторов и найденных ранее корней, легко вычисля-
ются сами величины ошибки, и делается исправление искаженного блока.
Мой вопрос, собственно говоря, связан с формальной производной поли-
нома локаторов. В большинстве литературе (в том числе и в зарубежной)
просто приводится готовая формула для производной, как бы упавшая с
потолка, без каких-либо пояснений насчет, откуда взялась эта формула.
Обозначим, сам полином локаторов: L(X) = L[0] + L[1]*X + ... + L[v]*X^v
Где, операции + и * выполняются по правилам алгебры для поля Галуа,
X - формальный аргумент, вместо которого можно численно подставлять
любой элемент поля Галуа, а v - предполагаемая кратность искажений.
Тогда согласно литературе производная полинома локаторов выглядит:
d(L(X))/dX = L[1] + L[3]*X^2 + L[5]*X^4 + ... + L[w]*X^(w-1)
где, w = v, если v - нечетное, иначе w = v - 1, если v - четное.
Мне интересно, с какого, так сказать, "дуба" это формула упала. Есть ли
где-нибудь и какое-нибудь определение формальной производной, так как
это сделано для производной функции в случае традиционной алгебры или
это просто "нечто", не имеющей пока что никакой математической базы?
