Цитата:
Сообщение от IvanSpbRu
Поле - это не кольцо с изъятым нулевым элементом (как я подумал сначала),
а кольцо, которое, если исключить из него нулевой элемент, образует группу по умножению
|
Поле от кольца, как минимум, отличается тем, что в поле для каждого ненулевого
элемента существует обратный элемент по умножению (т.е. элемент, при умноже-
нии на который исходного элемента, получается единичный элемент). В кольце не
для любого элемента, и то при условии, что мы рассматриваем кольцо с единицей.
При исключении из поля нулевого элемента остается коммутативная мультиплика-
тивная группа, а при исключении нулевого элемента из кольца с единицей - оста-
ется мультипликативный моноид, если кольцо без единицы - остается полугруппа.
Пример поля - конечное множество целых чисел {0,1,...,p-1}, где p простое число,
c двумя бинарными операциями сложения и умножения, выполняемых по модулю p,
то есть как (a + b) mod p и (a * b) mod p в привычной арифметике поля действите-
льных чисел. В таком поле для каждого ненулевого элемента а найдется мультипли-
кативно обратный элемент b, такой что (a * b) mod p = 1. А если же p - составное,
то мы имеем дело с коммутативным кольцом с единицей, в нем уже не для всякого
ненулевого элемента а существует мультипликативного обратный элемент. Сущес-
твует только для таких а, что наибольший общий делитель для чисел а и p равен 1.