[Paul Kellerman]

В итоге задача преобразования привела к небольшому исследованию.

Преобразовывать из 80-битного float X в дробь P/Q можно двумя способами:

1) Напрямую залезая в биты мантиссы и экспоненты и работая в привычном
для процессора двоичном формате: считываем 64-битную мантиссу как 64-
битное беззнаковое целое и заносим в P, а Q полагаем 2^63. Затем считав
двоичную экспоненту, анализируем ее и сдвигаем на E-63 бит влево P, если
экспонента E > 63, или сдвигаем на 63-E бит влево Q, если экспонента E < 63.
Плюс метода - максимальная скорость и точность преобразования. Минус же
- почти всегда громоздкие дроби, за исключением случаев, когда число может
быть точно представлено дробью, у которой знаменатель является степенью 2.

2) Десятичный - аппроксимация с использованием быстросходящегося алгоритма
Евклида. За несколько итераций удается выйти на дробь, которая приближается
к исходному вещественному с относительной погрешностью 10^(-18). Причем в
алгоритме все переменные как это не прозвучит странно - вещественные, в том
числе и P и Q для максимальной скорости, и только в конце они округляются до
целого. И тут еще одна загвоздка - большинство сред программирования могут
вытаскивать только 18 десятичный цифр из 80-битного вещественного, и оно и
понятно (сам процессор имеет ассемблерную команду FBSTP, которая умеет 18
десятичных цифр получать из вещественного числа, не превосходящего 10^18).
В то же время в 64-бита мантиссу гарантированно влезают любые 19-разрядные
десятичные числа. Если довольствоваться стандартными средствами, выдающих
18 цифр, то итоговая погрешность аппроксимации ухудшается почти в 6 раз, и
достигает 5,6*10^(-18), и поэтому необходимо было любой ценой извернуться и
достать 19-ю десятичную цифру, и худшая итоговая погрешность < 1,2*10^(-18).
Плюс - максимально компактные (привычные для человека) дроби, при этом ско-
рость преобразования лишь немного уступает двоичному (работа на уровне битов).

Обратное преобразование из дроби в вещественное тоже можно двумя способами:

1) Двоичный - нормализуем P и Q, так чтобы старший бит у P был 127-м, а у Q был
63-м. После этого делим P на Q, и получаем 64 или 65-битное частное, если 65 бит,
то сдвигаем частное на 1 разряд вправо и делаем 64-битным. После этого записы-
ваем их в 64 бита мантиссы итогового вещественного. Экспонента формируется на
основе разницы номеров старших битов исходных P и Q (перед нормализацией), и
если частное получалось 64-битным, из разницы еще дополнительно вычитается 1.
Плюс метода - максимально быстро, точно и привычно с точки зрения процессора.

2) Десятичный - вычисляем десятичные логарифмы от P и Q и вычисляем разницу,
потом нормализуем P и Q по степеням 10 так, так чтобы они стали 19-разрядными
десятичными числами. После этого преобразуем их в вещественные числа, и делим
их друг на друга. Получившееся частное затем масштабируем по степеням 10 на
основе разницы логарифмов. Причем если частное оказалось меньше 1, то предва-
рительно умножаем его на 10, а разницу логарифмов при этом увеличиваем на 1.
Плюс - только то, что десятичные преобразования привычнее и понятнее человеку.
Минус - намного медленнее двоичного метода, к тому же вносит свою погрешность.

Впрочем, как говорится, лучше один раз увидеть все самим, и погонять программу,
в котором реализованы оба метода обоих преобразований и есть возможность как
для ручного преобразования заданного числа, так автоматическое тестирование с
использованием случайных вещественных чисел и сбором статистики погрешностей.