Портал аспирантов
 

Вернуться   Портал аспирантов > Общие > Дискуссионный зал > Физико-математические науки

Ответ
 
Опции темы
Старый 06.03.2013, 01:22   #1
IvanSpbRu
Honorary Platinum Member
 
Регистрация: 28.10.2006
Сообщений: 10,479
По умолчанию Уравнение радиоактивного распада

Коллеги, вот вопрос (понимаю, что позор но сам не могу разобратсья) - примитивное уравнение радиоактивного распада dm/m = - k dt. В пособии, которое я сейчас смотрю, говорится, что после интегрирования мы получаем ln m = - kt + ln c, где c - константа. Внимание - вопрос: почему константа берется под логарифмом??? Таблица интегралов от элементарных функций говорит, что константу нужно просто прибавлять...
IvanSpbRu вне форума   Ответить с цитированием
Реклама
Старый 06.03.2013, 03:21   #2
Uzanka
Gold Member
 
Регистрация: 16.04.2012
Сообщений: 1,218
По умолчанию

Сначала решают дифф.уравнение. Решение m=exp(-kt)*c. Потом берут логарифм от обоих частей. Я так думаю.
Uzanka вне форума   Ответить с цитированием
Старый 06.03.2013, 07:02   #3
Paul Kellerman
Gold Member
 
Регистрация: 25.06.2005
Адрес: F000:FFF0
Сообщений: 1,804
По умолчанию

По теореме Ньютона-Лейбница: F(b) - F(a) = int(dF(x)/dx, x = a..b).
Поэтому int(1/x, x = m(0)..m(t)) = ln(m(t)) - ln(m(0)), правая часть
int(-k, x = 0..t) = -k*t. В качестве константы обозначили c = m(0).
Интегрировать необходимо осмысленно, с пониманием физики.

Последний раз редактировалось Paul Kellerman; 06.03.2013 в 07:51.
Paul Kellerman вне форума   Ответить с цитированием
Старый 06.03.2013, 07:39   #4
Olafson
Gold Member
 
Регистрация: 08.02.2009
Сообщений: 1,408
По умолчанию

Константа берется под логарифмом, потому что она по смыслу положительная (m, видимо, масса), а после потенцирования входит в выражение в более удобном виде, обозначая начальную m (в более удобном для решения задачи Коши). В общем, как указал Kellerman.
Olafson вне форума   Ответить с цитированием
Старый 06.03.2013, 10:22   #5
IvanSpbRu
Honorary Platinum Member
 
Регистрация: 28.10.2006
Сообщений: 10,479
По умолчанию

Цитата:
Сообщение от Olafson Посмотреть сообщение
Константа берется под логарифмом, потому что она по смыслу положительная (m, видимо, масса), а после потенцирования входит в выражение в более удобном виде, обозначая начальную m (в более удобном для решения задачи Коши). В общем, как указал Kellerman
Замечательно, так я примерно и думал. То есть в случае необходимости мы можем брать константу под синусом, представлять ее в виде суммы двух констант и так далее?
IvanSpbRu вне форума   Ответить с цитированием
Старый 06.03.2013, 11:02   #6
phys2010
Silver Member
 
Аватар для phys2010
 
Регистрация: 30.12.2010
Адрес: ЦФО, Россия
Сообщений: 852
По умолчанию

Нет. Необходимо, чтобы области определения (исходных и преобразованных) констант совпадали. Так, если решается формальное дифференциальное уравнение, то константы произвольны и поэтому любые ограничения на их значения (типа c->ln c или c->sin c) недопустимы. Если же кроме диф. уравнения есть дополнительные (начальные, граничные и пр.) условия, то часть констант уже не будут произвольными. Однако "руками" накладывать на них ограничения нельзя, они должны получаться из решения исходной задачи. В частности, замена c->ln c в решении уравнения радиоактивного распада допустима, если изначально наложено дополнительное условие m(t)>0.

Последний раз редактировалось phys2010; 06.03.2013 в 11:33.
phys2010 вне форума   Ответить с цитированием
Старый 08.03.2013, 02:25   #7
Olafson
Gold Member
 
Регистрация: 08.02.2009
Сообщений: 1,408
По умолчанию

Цитата:
Сообщение от IvanSpbRu Посмотреть сообщение
То есть в случае необходимости мы можем брать константу под синусом, представлять ее в виде суммы двух констант и так далее?
Под синусом можем, но нужно позаботиться об области значений. Синус (эллиптический) зачастую бывает отрицательным, и избавляясь от него мы можем получить перемену знака (в этом плане логарифм лучше -- он меняет знак однажды и известно где -- в единице по аргументу).
Olafson вне форума   Ответить с цитированием
Старый 08.03.2013, 06:40   #8
Kayra
Silver Member
 
Аватар для Kayra
 
Регистрация: 12.01.2011
Сообщений: 913
По умолчанию

Цитата:
Сообщение от IvanSpbRu Посмотреть сообщение
То есть в случае необходимости мы можем брать константу под синусом, представлять ее в виде суммы двух констант и так далее?
А зачем брать под синусом?
Вообще как уже писал Paul Kellerman С - это m при t = 0. В химических учебниках чаще встречается выражение m = m0*exp(-kt). m0 - начальная концентрация.
---------
Исследовать - значит видеть то, что видели все, и думать так, как не думал никто. (А. Сент-Дьёрдьи)
Kayra вне форума   Ответить с цитированием
Ответ

Опции темы

Ваши права в разделе
Вы не можете создавать новые темы
Вы не можете отвечать в темах
Вы не можете прикреплять вложения
Вы не можете редактировать свои сообщения

BB коды Вкл.
Смайлы Вкл.
[IMG] код Вкл.
HTML код Выкл.



Текущее время: 02:48. Часовой пояс GMT +3.


Powered by vBulletin® Version 3.8.8
Copyright ©2000 - 2024, vBulletin Solutions, Inc. Перевод: zCarot
© 2001—2024, «Аспирантура. Портал аспирантов»
Рейтинг@Mail.ru