Портал аспирантов
 

Вернуться   Портал аспирантов > Общие > Дискуссионный зал > Физико-математические науки

Ответ
 
Опции темы
Старый 11.01.2011, 16:25   #21
phys2010
Silver Member
 
Аватар для phys2010
 
Регистрация: 30.12.2010
Адрес: ЦФО, Россия
Сообщений: 852
По умолчанию

Спасибо, обязательно посмотрю.

Ага ... записал.
phys2010 вне форума   Ответить с цитированием
Реклама
Старый 15.01.2011, 06:44   #22
chtec_77630
Newbie
 
Регистрация: 19.12.2010
Сообщений: 13
По умолчанию

Насколько я понял, речь идет о тензорах (грубо говоря, объекты задаваемые 3^N числами в выбранной декартовой прямоугольной системе координат, и запись чисел представима "таблицей" в виде квадрата (2 ранг), куба (3 ранг), гиперкуба (4 ранг), (гипер-)куба или что полагается по рангу. Тут в частном случае, 3 -- это размерность пространства). С тензорами одинакового ранга просто осуществляются операции сложения и вычитания, происходит сложение или вычитание компонент. Для двух тензоров третьего ранга
C = A + B
Cikl = Aikl + Bikl
Внешнее (прямое) умножение порождает тензор, ранг которого равен сумме рангов.
C = AB
Ciklmn = Aikl Bmn
Результатом внутреннего (скалярного) произведения является тензор с рангом меньшим суммы рангов сомножителей. Часть индексов приравнивается, и по ним проводится сложение.
Cikn = \sum_{m=1}^{3} Aikm Bmn
Выбор несвободного индекса влечет многовариантность.
Dikm = \sum_{n=1}^{3} Dikn Bmn
Обратный тензор таков, что произведение с ним дает символы Кронекера \delta_ik (=0, если i≠k, =1, если i=k):
\sum_{n=1}^{3} Hik Gkl = \delta il

Связь с "обычными" действиями. Матричное перемножение двух матриц (то есть тензоров 2 ранга) есть их внутреннее (скалярное) произведение, причем одна пара индексов сворачивается:
Pil = \sum_{m=1}^{3} Dik Bkl
Скалярное произведение вектров аналогично. Векторное произведение векторов представляется как внешнее (прямое) умножение, но свернутое с единичным псевдотензором Леви-Чивита.

Последний раз редактировалось chtec_77630; 15.01.2011 в 14:47.
---------
Наука есть способ удовлетворения любопытства за государственный счет
chtec_77630 вне форума   Ответить с цитированием
Старый 15.01.2011, 10:58   #23
phys2010
Silver Member
 
Аватар для phys2010
 
Регистрация: 30.12.2010
Адрес: ЦФО, Россия
Сообщений: 852
По умолчанию

chtec_77630 когда мы работаем с обыкновенными матрицами (тензорами ранга 2), закон умножения не выводит нас их этого множества (ранг произведения совпадает с рангом сомножителей). А вот как определить умножение на множестве произвольных тензоров одного ранга, неизвестно.
phys2010 вне форума   Ответить с цитированием
Старый 15.01.2011, 15:01   #24
chtec_77630
Newbie
 
Регистрация: 19.12.2010
Сообщений: 13
По умолчанию

Цитата:
Сообщение от phys2010 Посмотреть сообщение
определить умножение на множестве произвольных тензоров одного ранга
Это скалярное произведение, в котором мы сворачиваем столько индексов, чтобы ранг произведения остался прежним, и чтобы мы не вышли из исходного множества.
C=AB
Ciklmnpqr=AiklmBnpqr
Это прямое произведение дает (4+4)=8 ранг.
(AB)ikqr = \sum_{s,t=1}*{3} AikstBstqr
А здесь свернуты две пары индексов, и ранг (AB) равен рангу A и рангу В. Произведения матриц справа и слева -- это просто разный выбор сворачиваемой пары индексов, внутренней (Aik,Bkm) или внешней (Aik,Bmi) для суммирования.
Преемственность соблюдается, значит, нельзя не считать определение умножения на множестве произвольных тензоров одного ранга заданным :-)

Последний раз редактировалось chtec_77630; 15.01.2011 в 17:01.
---------
Наука есть способ удовлетворения любопытства за государственный счет
chtec_77630 вне форума   Ответить с цитированием
Старый 15.01.2011, 17:44   #25
phys2010
Silver Member
 
Аватар для phys2010
 
Регистрация: 30.12.2010
Адрес: ЦФО, Россия
Сообщений: 852
По умолчанию

chtec_77630, все верно. И это единственный известный мне способ определения операции умножения на множестве тензоров одного ранга. Однако дело в том, что и здесь мы имеем обычное умножение (плоских) матриц. Действительно, рассмотрим Ваш пример:
(AB)mnps=AmnijBijps
Теперь введем мультииндексы
M=[mn], P=[ps], I=[ij]
и перепишем Ваш пример в виде
(AB)MP=AMIBIP.
Очевидно, что мы вновь получаем умножение обычных матриц.

Задача в том, чтобы определить умножение на множестве тензоров одного ранга не сводящееся к умножению обычных матриц (другими словами, алгебра, построенная на этом множестве должна быть не изоморфна алгебре обычных плоских матриц).
phys2010 вне форума   Ответить с цитированием
Старый 15.01.2011, 18:57   #26
chtec_77630
Newbie
 
Регистрация: 19.12.2010
Сообщений: 13
По умолчанию

Дело в том, что когда мы сворачиваем индексы, то уходит пара индексов, и ранг снижается на два. Если будем перемножать по общему правилу матрицы третьего ранга (кубики), то свернуть их прямое произведение до третьего ранга просто не выйдет.

Кажется, тогда в дело вступают вспомогательные символы Леви-Чивиты. Такие умножения тензоров нечетных рангов уже не похожи на действия с плоскими матрицами.
---------
Наука есть способ удовлетворения любопытства за государственный счет
chtec_77630 вне форума   Ответить с цитированием
Старый 15.01.2011, 19:25   #27
phys2010
Silver Member
 
Аватар для phys2010
 
Регистрация: 30.12.2010
Адрес: ЦФО, Россия
Сообщений: 852
По умолчанию

chtec_77630, именно поэтому изначально я говорил не о тензорах, а о N-матрицах. Думаю, что зацикливаться на тензорном умножении не стоит. Это лишь один из способов определения операции умножения N-матриц. Хотя и на тензорах одного ранга можно, я думаю, корректно определить новый закон умножения. Но это должна быть не свертка в чистом виде, а что-то другое
phys2010 вне форума   Ответить с цитированием
Старый 17.01.2011, 21:47   #28
Lelika
Newbie
 
Регистрация: 07.12.2010
Сообщений: 12
По умолчанию

http://abitur.bsuir.by/m/12_116608_1_50823.pdf.
Но там умножение вводится таким же образом, о котором уже писали.
Lelika вне форума   Ответить с цитированием
Старый 17.01.2011, 22:48   #29
phys2010
Silver Member
 
Аватар для phys2010
 
Регистрация: 30.12.2010
Адрес: ЦФО, Россия
Сообщений: 852
По умолчанию

Lelika, спасибо. Очевидно, что этот материал базируется на книге "Соколов Н.П. Введение в теорию многомерных матриц. Киев, 1972". Я слышал об этой книге, но читать не приводилось. Насколько я знаю, это единственная монография, посвященная многомерным матрицам. Из присланного Вами материала вижу, что конструкция Соколова может использоваться при работе с многомерными массивами данных. Однако насколько естественно эта конструкция обобщает обычную матричную алгебру... Не знаю... Закон умножения кажется очень неестественным. Но... буду думать.
phys2010 вне форума   Ответить с цитированием
Ответ

Опции темы

Ваши права в разделе
Вы не можете создавать новые темы
Вы не можете отвечать в темах
Вы не можете прикреплять вложения
Вы не можете редактировать свои сообщения

BB коды Вкл.
Смайлы Вкл.
[IMG] код Вкл.
HTML код Выкл.



Текущее время: 15:45. Часовой пояс GMT +3.


Powered by vBulletin® Version 3.8.8
Copyright ©2000 - 2024, vBulletin Solutions, Inc. Перевод: zCarot
© 2001—2024, «Аспирантура. Портал аспирантов»
Рейтинг@Mail.ru