N-арные матрицы

[phys2010]

Спасибо, обязательно посмотрю.

Ага ... записал.

[chtec_77630]

Насколько я понял, речь идет о тензорах (грубо говоря, объекты задаваемые 3^N числами в выбранной декартовой прямоугольной системе координат, и запись чисел представима "таблицей" в виде квадрата (2 ранг), куба (3 ранг), гиперкуба (4 ранг), (гипер-)куба или что полагается по рангу. Тут в частном случае, 3 -- это размерность пространства). С тензорами одинакового ранга просто осуществляются операции сложения и вычитания, происходит сложение или вычитание компонент. Для двух тензоров третьего ранга

C = A + B
C_ikl = A_ikl + B_ikl

Внешнее (прямое) умножение порождает тензор, ранг которого равен сумме рангов.

C = A ⊗ B
C_iklmn = A_ikl B_mn

Результатом внутреннего (скалярного) произведения является тензор с рангом меньшим суммы рангов сомножителей. Часть индексов приравнивается, и по ним проводится сложение.

C_ikn = \sum_{m=1}^{3} A_ikm B_mn

Выбор несвободного индекса влечет многовариантность.

D_ikm = \sum_{n=1}^{3} D_ikn B_mn

Обратный тензор таков, что произведение с ним дает символы Кронекера \delta_ik (=0, если i≠k, =1, если i=k):

\sum_{n=1}^{3} H_ik G_kl = \delta _il

Связь с "обычными" действиями. Матричное перемножение двух матриц (то есть тензоров 2 ранга) есть их внутреннее (скалярное) произведение, причем одна пара индексов сворачивается:

P_il = \sum_{m=1}^{3} D_ik B_kl

Скалярное произведение вектров аналогично. Векторное произведение векторов представляется как внешнее (прямое) умножение, но свернутое с единичным псевдотензором Леви-Чивита.

[phys2010]

chtec_77630 когда мы работаем с обыкновенными матрицами (тензорами ранга 2), закон умножения не выводит нас их этого множества (ранг произведения совпадает с рангом сомножителей). А вот как определить умножение на множестве произвольных тензоров одного ранга, неизвестно.

[chtec_77630]

Сообщение от phys2010

определить умножение на множестве произвольных тензоров одного ранга

Это скалярное произведение, в котором мы сворачиваем столько индексов, чтобы ранг произведения остался прежним, и чтобы мы не вышли из исходного множества.

C=A⊗B
C_iklmnpqr=A_iklmB_npqr

Это прямое произведение дает (4+4)=8 ранг.

(AB)_ikqr = \sum_{s,t=1}*{3} A_ikstB_stqr

А здесь свернуты две пары индексов, и ранг (AB) равен рангу A и рангу В. Произведения матриц справа и слева -- это просто разный выбор сворачиваемой пары индексов, внутренней (Aik,Bkm) или внешней (Aik,Bmi) для суммирования.
Преемственность соблюдается, значит, нельзя не считать определение умножения на множестве произвольных тензоров одного ранга заданным :-)

[phys2010]

chtec_77630, все верно. И это единственный известный мне способ определения операции умножения на множестве тензоров одного ранга. Однако дело в том, что и здесь мы имеем обычное умножение (плоских) матриц. Действительно, рассмотрим Ваш пример:
(AB)_mnps=A_mnijB_ijps
Теперь введем мультииндексы
M=[mn], P=[ps], I=[ij]
и перепишем Ваш пример в виде
(AB)_MP=A_MIB_IP.
Очевидно, что мы вновь получаем умножение обычных матриц.

Задача в том, чтобы определить умножение на множестве тензоров одного ранга не сводящееся к умножению обычных матриц (другими словами, алгебра, построенная на этом множестве должна быть не изоморфна алгебре обычных плоских матриц).

[chtec_77630]

Дело в том, что когда мы сворачиваем индексы, то уходит пара индексов, и ранг снижается на два. Если будем перемножать по общему правилу матрицы третьего ранга (кубики), то свернуть их прямое произведение до третьего ранга просто не выйдет.

Кажется, тогда в дело вступают вспомогательные символы Леви-Чивиты. Такие умножения тензоров нечетных рангов уже не похожи на действия с плоскими матрицами.

[phys2010]

chtec_77630, именно поэтому изначально я говорил не о тензорах, а о N-матрицах. Думаю, что зацикливаться на тензорном умножении не стоит. Это лишь один из способов определения операции умножения N-матриц. Хотя и на тензорах одного ранга можно, я думаю, корректно определить новый закон умножения. Но это должна быть не свертка в чистом виде, а что-то другое

[Lelika]

http://abitur.bsuir.by/m/12_116608_1_50823.pdf.
Но там умножение вводится таким же образом, о котором уже писали.

[phys2010]

Lelika, спасибо. Очевидно, что этот материал базируется на книге "Соколов Н.П. Введение в теорию многомерных матриц. Киев, 1972". Я слышал об этой книге, но читать не приводилось. Насколько я знаю, это единственная монография, посвященная многомерным матрицам. Из присланного Вами материала вижу, что конструкция Соколова может использоваться при работе с многомерными массивами данных. Однако насколько естественно эта конструкция обобщает обычную матричную алгебру... Не знаю... Закон умножения кажется очень неестественным. Но... буду думать.