Математические вопросы и задачи

[Paul Kellerman]

Так уж складывается, но время от времени в рамках научной или педа-
гогической работы, а иногда даже просто любопытства сталкиваешься
с различными математическими загвоздками. Понятное дело, что есть
масса справочников, учебников, математических программ, но все же
иногде хочется и совместного обсуждения математических загвоздок.

Предлагаю в этой теме обсуждать и в рамках своих возможностей при-
нимать участие в совместном решении нетиповых задач (которых нет в
справочнике и с которыми не справляются математические программы):
замороченные определенные и неопределенные интегралы, ряды, диф-
ференциальные уравнения, комбинаторные конструкции и иже с ними.

Как первая задача: в рамках педагогической работы столкнулся с изу-
чением реакции простейшей RC-цепочки при подаче на вход сигнала,
синусоидальной формы, но основная загвоздка в том, что синусоида не
обычная, а абсолютная, то есть x(t) = U*|sin(w*t)|, и реакция вычисля-
ется, как интеграл следующего вида, и как раз с ним и вся загвоздка:

* * * * * * * * * * * t
* * * * * * *U * * */ * * * * * * * * * * * * * * * - z/(RC)
у(t) = * ----- **| *|sin(w*(t - z))| * e * * * * * * *dz
* * * * * * RC * */
* * * * * * * * * * 0

В справочниках его нет, программа Maple с ним не справляется, график
функции y(t) строится в том же Maple очень медленно из-за вычисления
интеграла приближенным численным методом для каждой точки, хоте-
лось бы попробовать найти аналитическое решение этого интеграла

[Tantalia]

По частям, пару раз. Неужто не получается?

[Paul Kellerman]

Tantalia

По частям, пару раз. Неужто не получается?

А вы про модуль не забыли? Эта та самая маленькая мелочь, которая
отличает интеграл из учебника от интеграла из реальной практики

[Tantalia]

Модуль придется раскрыть, интеграл считать два раза, получить два ответа. И функция получится заданной кусочно.

[Paul Kellerman]

Tantalia

интеграл считать два раза

Вы не забыли, что экспонента в отличие от синуса апериодична? Инте-
грал на первых двух полупериодах будет вовсе не равен интегралам на
следующих двух полупериодах и т.д. А потом параметр t можеть быть и
таким, что в него может и "не вписаться" четное число полупериодов

функция получится заданной кусочно

А график функции выглядит очень даже непрерывно, ни разрывов, ни
даже изломов. И вообще ее очень трудно назвать заданной кусочно
График выглядит как cos(bt), "колеблющаяся" около кривой 1-exp(-at).

P.S. Кстати не знаю как другие математические пакеты, а Maple точно
дает неверный ответ - то есть, если по нему построить график, он воо-
бще не похож на график, построенный численным интегрированием...

[Damon]

* * * * * * * * * * *t * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *m * * *t(i+1)
* * * * * * U * * **/ * * * * * * * * * * * * * * * - z/(RC) * * * * * *U * --- * */
у(t) = * ----- * | *|sin(w*(t - z))| * e * * * * * * *dz *= ---- *\ * * *|+-sin*exp dz
* * * * * *RC * **/ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * RC */__ */
* * * * * * * * * *0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i=0 t(i)


здесь t(i) - точки в которых синус в ноль обращается. t(m)=t, t(0)=0
Так разве не получится?

[Paul Kellerman]

Damon

Идея в общем верная, только разбивка у меня была немного иная:

* * * * * * * * t * * * * * * *t - Pi/w * * * * * * * * * * * *t - (k-1)*Pi/w * * * * t - k*Pi/w
U * * * / * * */ * * * * * * * */ * * * * * * * * * * * * k-1 * * */ * * * * * * * * * * * k * * */ * * * *\
--- ** | * * *| * * * * - * * *| * *+ * ... * + *(-1) * * * * | * * * * * * *+ (-1) * ** *| * * * * *|
RC * * \ * * / * * * * * * * */ * * * * * * * * * * * * * * * * * */ * * * * * * * * * * * * * * * / * * * * /
* * * * * t - Pi/w * * t - 2*Pi/w * * * * * * * * * t - k*Pi/w * * * * * * * * * * * *0 *
* * * * *

где, k = [t / (Pi/w)] , то есть целая часть от деления t на Pi/w

Первые k интегралов однотипные, и отличаются с точностью до множи-
теля экспоненты. Отрезки интегрирования выбраны таким образом, что
внутри них синус имеет один знак: плюс для нечетных j, минус для чет-
ных j, где j - номер интеграла, j = 1 .. k - 1. Знак последнего интеграла
зависит от того окажется ли k четным или нечетным, и причем пределы
интегрирования в общем случае составляют отрезок длиной 0<=L<=Pi,
и получается, так сказать, &#34;неполный&#34; интеграл, содержащий косинус
(первые k интегралов дают геометрическую прогрессию из экспонент).

Интегрируя по частям два раза первый интеграл дает выражение:

*U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * * * * *Pi/(w*R*C)
------------------- * e * * * * * ** (1 + e * * * * * * * * * * )
1 +(w*R*C)^2

Второй интеграл дает:

*U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * Pi/(w*R*C) * * * 2*Pi/(w*R*C)
------------------- * e * * * * * ** (e * * * * * * * * * + e * * * * * * * * * * * )
1 +(w*R*C)^2

Далее легко увидеть аналогию, и так далее, (k - 1) - й дает:

*U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * (k-1)*Pi/(w*R*C) * * * k*Pi/(w*R*C)
------------------- * e * * * * * ** (e * * * * * * * * * + * * * * e * * * * * * * * * * * )
1 +(w*R*C)^2

Складывая всех их, получим: * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *k - 1
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * -----
*U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * ** * *\ * * j *Pi/(w*R*C) * * * * k*Pi/(w*R*C)
------------------- * e * * * ** (1 + 2* / * e * * * * * * * * * * *+ * * e * * * * * * * * * * *)
1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * * * *----- *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * j = 1 *

Теперь же найдем выражение для последнего интеграла:
Учтем, что cos(Pi*k) = (-1)^k и тогда после преобразований получим:

*U*w*R*C * * * * * * - t/RC + Pi*k/(w*R*C)
------------------- * e * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * -
1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * *

* * * * k * * *U*w*R*C * * * * * * * * * * * * * * 1
- (-1) * *------------------- ** (cos (wt) - ------ sin (wt))
* * * * * *1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * wRC *

Заметим, первое слагаемое совпадает с последним слагаемым выше-
приведенной суммы интегралов, и его можно перенести туда, и более
того сложив их внести их также как дополнительный k-й член ряда):
В итоге сумма первых k - 1 интегралов немного даже упрощается:

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *k
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** -----
*U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * * * **\ * * j *Pi/(w*R*C) *
------------------- * e * * * ** (1 + 2* / * e * * * * * * * * * * *)
1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * * * *----- *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * j = 1 *

Под знаком суммы имеем не что иное как геометрическую прогрессию.
Сумма вычисляется по формуле b1*(q^k - 1)/(q-1) и после упрощений:

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (Pi*k/wRC)
*U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * * * * e * * * * * * - * * * * 1
------------------- * e * * * ** (1 + 2 * ------------------------ )
1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - Pi/wRC
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 - * e

Что касается второго слагаемого (содержащего cos и sin) результата
последнего интегрирования, то можно провести классический прием:
Ввести подстановку tg(d) = 1/(w*R*C), тогда имеем:

cos(wt) - tg(d)*sin(wt) = (1/cos(d))*(cos(w*t)*cos(d) - sin(w*t)*sin(d)) =
(1/cos(d))*cos(wt + d), учитывая что *1 + tg^2 (d) = 1/ cos^2 (d), имеем:

* * * * * * * * 1 * * * * * * * * * * * * (1 +(w*R*C)^2)^(1/2)
cos(wt) - ----- *sin(wt) = ----------------------------- * cos (wt + arctg(1/wRC))
* * * * * * * wRC * * * * * * * * * * * * * * * * * *w*R*C

Подставляя его в исходное выражение второго слагамого имеем:
* * * * * * * * * * * * * * * U
((-1)^k)* ------------------------------ * cos (wt + arctg(1/wRC))
* * * * * * * *(1 +(w*R*C)^2)^(1/2)

Тогда окончательно имеем:
*
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (Pi*k/wRC)
* * * * * * * */ * * * w*R*C * * * * * * *- t/RC * * * * * * * * *e * * * * * * - * * * * 1
y(t) = U*&#0124; * ------------------- * e * * * ** (1 + 2 * ------------------------ ) *-
* * * * * * * *\ * *1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - Pi/wRC
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *1 *- * e

* * * * * * * * * cos (wt + arctg(1/wRC)) *\ * * * * * *
- ((-1)^k)* ------------------------------ **&#0124; * *, где *k = [t / (Pi/w)].
* * * * * * * * * (1 +(w*R*C)^2)^(1/2) * */

P.S. Так что все чуточку сложнее, чем просто интегрирование по частям

[Chief CLMiS]

Коллеги (особенно математики), посоветуйте, пожалуйста, по вопросу аппроксимации поверхностей. Задача стоит примерно так: есть достаточно гладкая поверхность с несколькими перегибами (если что за правильность терминологии не ручаюсь ). Необходимо ее аппроксимировать конечной суммой других поверхностей (например, на базе гиперболического тангенса). Количество этих поверхностей должно быть минимальным (естественно, с конечной погрешностью). Буду благодарен или конкретным советам или рекомендации подходящих источников.