![]() |
|
![]() |
#1 |
Gold Member
Регистрация: 25.06.2005
Адрес: F000:FFF0
Сообщений: 1,811
|
![]()
Так уж складывается, но время от времени в рамках научной или педа-
гогической работы, а иногда даже просто любопытства сталкиваешься с различными математическими загвоздками. Понятное дело, что есть масса справочников, учебников, математических программ, но все же иногде хочется и совместного обсуждения математических загвоздок. Предлагаю в этой теме обсуждать и в рамках своих возможностей при- нимать участие в совместном решении нетиповых задач (которых нет в справочнике и с которыми не справляются математические программы): замороченные определенные и неопределенные интегралы, ряды, диф- ференциальные уравнения, комбинаторные конструкции и иже с ними. Как первая задача: в рамках педагогической работы столкнулся с изу- чением реакции простейшей RC-цепочки при подаче на вход сигнала, синусоидальной формы, но основная загвоздка в том, что синусоида не обычная, а абсолютная, то есть x(t) = U*|sin(w*t)|, и реакция вычисля- ется, как интеграл следующего вида, и как раз с ним и вся загвоздка: * * * * * * * * * * * t * * * * * * *U * * */ * * * * * * * * * * * * * * * - z/(RC) у(t) = * ----- **| *|sin(w*(t - z))| * e * * * * * * *dz * * * * * * RC * */ * * * * * * * * * * 0 В справочниках его нет, программа Maple с ним не справляется, график функции y(t) строится в том же Maple очень медленно из-за вычисления интеграла приближенным численным методом для каждой точки, хоте- лось бы попробовать найти аналитическое решение этого интеграла ![]() |
![]() |
![]() |
Реклама | |
|
![]() |
#2 |
Newbie
Регистрация: 12.05.2007
Сообщений: 6
|
![]()
По частям, пару раз. Неужто не получается?
|
![]() |
![]() |
![]() |
#3 | |
Gold Member
Регистрация: 25.06.2005
Адрес: F000:FFF0
Сообщений: 1,811
|
![]()
Tantalia
Цитата:
![]() отличает интеграл из учебника от интеграла из реальной практики ![]() |
|
![]() |
![]() |
![]() |
#4 |
Newbie
Регистрация: 12.05.2007
Сообщений: 6
|
![]()
Модуль придется раскрыть, интеграл считать два раза, получить два ответа. И функция получится заданной кусочно.
|
![]() |
![]() |
![]() |
#5 | ||
Gold Member
Регистрация: 25.06.2005
Адрес: F000:FFF0
Сообщений: 1,811
|
![]()
Tantalia
Цитата:
грал на первых двух полупериодах будет вовсе не равен интегралам на следующих двух полупериодах и т.д. А потом параметр t можеть быть и таким, что в него может и "не вписаться" четное число полупериодов ![]() Цитата:
даже изломов. И вообще ее очень трудно назвать заданной кусочно ![]() График выглядит как cos(bt), "колеблющаяся" около кривой 1-exp(-at). P.S. Кстати не знаю как другие математические пакеты, а Maple точно дает неверный ответ - то есть, если по нему построить график, он воо- бще не похож на график, построенный численным интегрированием... |
||
![]() |
![]() |
![]() |
#6 |
Member
Регистрация: 11.05.2005
Сообщений: 133
|
![]()
* * * * * * * * * * *t * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *m * * *t(i+1)
* * * * * * U * * **/ * * * * * * * * * * * * * * * - z/(RC) * * * * * *U * --- * */ у(t) = * ----- * | *|sin(w*(t - z))| * e * * * * * * *dz *= ---- *\ * * *|+-sin*exp dz * * * * * *RC * **/ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * RC */__ */ * * * * * * * * * *0 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * i=0 t(i) здесь t(i) - точки в которых синус в ноль обращается. t(m)=t, t(0)=0 Так разве не получится? |
![]() |
![]() |
![]() |
#7 |
Gold Member
Регистрация: 25.06.2005
Адрес: F000:FFF0
Сообщений: 1,811
|
![]()
Damon
Идея в общем верная, только разбивка у меня была немного иная: * * * * * * * * t * * * * * * *t - Pi/w * * * * * * * * * * * *t - (k-1)*Pi/w * * * * t - k*Pi/w U * * * / * * */ * * * * * * * */ * * * * * * * * * * * * k-1 * * */ * * * * * * * * * * * k * * */ * * * *\ --- ** | * * *| * * * * - * * *| * *+ * ... * + *(-1) * * * * | * * * * * * *+ (-1) * ** *| * * * * *| RC * * \ * * / * * * * * * * */ * * * * * * * * * * * * * * * * * */ * * * * * * * * * * * * * * * / * * * * / * * * * * t - Pi/w * * t - 2*Pi/w * * * * * * * * * t - k*Pi/w * * * * * * * * * * * *0 * * * * * * где, k = [t / (Pi/w)] , то есть целая часть от деления t на Pi/w Первые k интегралов однотипные, и отличаются с точностью до множи- теля экспоненты. Отрезки интегрирования выбраны таким образом, что внутри них синус имеет один знак: плюс для нечетных j, минус для чет- ных j, где j - номер интеграла, j = 1 .. k - 1. Знак последнего интеграла зависит от того окажется ли k четным или нечетным, и причем пределы интегрирования в общем случае составляют отрезок длиной 0<=L<=Pi, и получается, так сказать, "неполный" интеграл, содержащий косинус (первые k интегралов дают геометрическую прогрессию из экспонент). Интегрируя по частям два раза первый интеграл дает выражение: *U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * * * * *Pi/(w*R*C) ------------------- * e * * * * * ** (1 + e * * * * * * * * * * ) 1 +(w*R*C)^2 Второй интеграл дает: *U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * Pi/(w*R*C) * * * 2*Pi/(w*R*C) ------------------- * e * * * * * ** (e * * * * * * * * * + e * * * * * * * * * * * ) 1 +(w*R*C)^2 Далее легко увидеть аналогию, и так далее, (k - 1) - й дает: *U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * (k-1)*Pi/(w*R*C) * * * k*Pi/(w*R*C) ------------------- * e * * * * * ** (e * * * * * * * * * + * * * * e * * * * * * * * * * * ) 1 +(w*R*C)^2 Складывая всех их, получим: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *k - 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** * ----- *U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * ** * *\ * * j *Pi/(w*R*C) * * * * k*Pi/(w*R*C) ------------------- * e * * * ** (1 + 2* / * e * * * * * * * * * * *+ * * e * * * * * * * * * * *) 1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * * * *----- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * j = 1 * Теперь же найдем выражение для последнего интеграла: Учтем, что cos(Pi*k) = (-1)^k и тогда после преобразований получим: *U*w*R*C * * * * * * - t/RC + Pi*k/(w*R*C) ------------------- * e * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - 1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * k * * *U*w*R*C * * * * * * * * * * * * * * 1 - (-1) * *------------------- ** (cos (wt) - ------ sin (wt)) * * * * * *1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * wRC * Заметим, первое слагаемое совпадает с последним слагаемым выше- приведенной суммы интегралов, и его можно перенести туда, и более того сложив их внести их также как дополнительный k-й член ряда): В итоге сумма первых k - 1 интегралов немного даже упрощается: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *k * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * ** ----- *U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * * * **\ * * j *Pi/(w*R*C) * ------------------- * e * * * ** (1 + 2* / * e * * * * * * * * * * *) 1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * * * *----- * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * j = 1 * Под знаком суммы имеем не что иное как геометрическую прогрессию. Сумма вычисляется по формуле b1*(q^k - 1)/(q-1) и после упрощений: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (Pi*k/wRC) *U*w*R*C * * * * * * - t/RC * * * * * * * e * * * * * * - * * * * 1 ------------------- * e * * * ** (1 + 2 * ------------------------ ) 1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - Pi/wRC * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 - * e Что касается второго слагаемого (содержащего cos и sin) результата последнего интегрирования, то можно провести классический прием: Ввести подстановку tg(d) = 1/(w*R*C), тогда имеем: cos(wt) - tg(d)*sin(wt) = (1/cos(d))*(cos(w*t)*cos(d) - sin(w*t)*sin(d)) = (1/cos(d))*cos(wt + d), учитывая что *1 + tg^2 (d) = 1/ cos^2 (d), имеем: * * * * * * * * 1 * * * * * * * * * * * * (1 +(w*R*C)^2)^(1/2) cos(wt) - ----- *sin(wt) = ----------------------------- * cos (wt + arctg(1/wRC)) * * * * * * * wRC * * * * * * * * * * * * * * * * * *w*R*C Подставляя его в исходное выражение второго слагамого имеем: * * * * * * * * * * * * * * * U ((-1)^k)* ------------------------------ * cos (wt + arctg(1/wRC)) * * * * * * * *(1 +(w*R*C)^2)^(1/2) Тогда окончательно имеем: * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * (Pi*k/wRC) * * * * * * * */ * * * w*R*C * * * * * * *- t/RC * * * * * * * * *e * * * * * * - * * * * 1 y(t) = U*| * ------------------- * e * * * ** (1 + 2 * ------------------------ ) *- * * * * * * * *\ * *1 +(w*R*C)^2 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * - Pi/wRC * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *1 *- * e * * * * * * * * * cos (wt + arctg(1/wRC)) *\ * * * * * * - ((-1)^k)* ------------------------------ **| * *, где *k = [t / (Pi/w)]. * * * * * * * * * (1 +(w*R*C)^2)^(1/2) * */ P.S. Так что все чуточку сложнее, чем просто интегрирование по частям |
![]() |
![]() |
![]() |
#8 |
Full Member
Регистрация: 10.11.2005
Адрес: Омск
Сообщений: 157
|
![]()
Коллеги (особенно математики), посоветуйте, пожалуйста, по вопросу аппроксимации поверхностей. Задача стоит примерно так: есть достаточно гладкая поверхность с несколькими перегибами (если что за правильность терминологии не ручаюсь
![]() |
---------
Точка зрения
|
|
![]() |
![]() |